3.1 Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве

Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются - третьей возможности для них нет. В пространстве же к этим двум случаям добавляется ещё один - когда две прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые существуют. Возьмём, например, четыре точки А, B, С, D, не лежащие в одной плоскости (задача 1.1). Тогда прямые АВ и CD (рис. 35) не лежат в одной плоскости (так как иначе точки А, B, С, D лежали бы в одной плоскости).

Рис. 35

Итак, для взаимного расположения двух прямых в пространстве возможны такие случаи:

1. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек - параллельные прямые (рис. 36, а).
2. Прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку - пересекающиеся прямые (рис. 36, б).
3. Прямые не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (рис. 36, в).

Рис. 36

Эти же три случая можно получить иначе.

1. Прямые имеют общую точку. Тогда они лежат в одной плоскости. Это пересекающиеся прямые.
2. Две прямые не имеют общих точек. Тогда они либо параллельны (если лежат в одной плоскости), либо скрещиваются (если не лежат в одной плоскости).

Все три случая можно видеть на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок комнаты (рис. 37): например, а скрещивается с b и параллельна с, а b и с - пересекаются.

Рис. 37

Отметим, что параллельные прямые задают плоскость, в которой они лежат.

3.2. Признаки скрещивающихся прямых

Указав в п. 3.1 пример двух скрещивающихся прямых АВ и CD, мы фактически воспользовались следующим признаком скрещивающихся прямых:

1. Если две прямые содержат четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то они скрещиваются. Отсюда легко выводится второй признак скрещивающихся прямых:
2. Прямая, лежащая в плоскости, скрещивается с каждой прямой, пересекающей эту плоскость, но не данную прямую.

Доказательство. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке А, но не пересекает прямую b, лежащую в плоскости а (рис. 38). Возьмём на прямой а ещё точку В, а на прямой b две точки С и D. Четыре точки А, B, С и D не лежат в одной плоскости, а потому прямые а и b скрещиваются.

Рис. 38

3.3. Параллельные прямые

Для параллельных прямых в пространстве выполняется, как и на плоскости, следующее утверждение:

Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По теореме 3 через них проходит плоскость; обозначим её а. В плоскости а выполняются все положения планиметрии, а потому в ней через точку А проходит прямая b, параллельная а (рис. 39). Докажем, что другой прямой, параллельной а и проходящей через ту же точку А, нет.

Рис. 39

Действительно, такая прямая по определению параллельных прямых должна лежать с прямой а в одной плоскости. Кроме того, она должна проходить через точку А. Значит, она должна лежать в плоскости, проходящей через прямую а и точку А.

Такая плоскость по теореме 3 только одна - это плоскость а.

Но в плоскости, как известно, через данную точку А проходит только одна прямая, параллельная данной прямой а, - это и есть прямая Ъ. Следовательно, в пространстве через точку А проходит только одна прямая, параллельная данной прямой а.

Как и на плоскости, в пространстве две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Чтобы доказать этот признак параллельности прямых, докажем сначала такую лемму:

Пусть прямые а и Ь параллельны и плоскость а пересекает прямую а в точке А (рис. 40). Проведём плоскость β через параллельные прямые а и Ь. Плоскости а и β имеют общую точку A, a потому пересекаются по прямой с, проходящей через точку А. Прямая а пересекает прямую с в точке А. Поэтому в плоскости β и параллельная ей прямая b пересекает прямую с в некоторой точке В. В точке В прямая b пересекает и плоскость а.

Рис. 40

Докажем признак параллельности прямых.

Пусть две прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что а||Ь. Возьмём на прямой b некоторую точку В и проведём плоскость а через точку В и прямую а. Тогда прямая b также лежит в плоскости а. Если бы прямая b пересекала плоскость а (в точке В), то по лемме эту плоскость пересекала бы и параллельная ей прямая с. Если же снова применить лемму к параллельным прямым а и с, то получим, что прямая а пересекает плоскость а, что противоречит построению плоскости а (она содержит прямую а). Значит, прямая b лежит в одной плоскости а с прямой а. Пересекаться прямые а и b не могут (по теореме 5). Поэтому прямые а и b параллельны.

Вопросы для самоконтроля

1. Как могут располагаться две прямые в пространстве?
2. В чём сходство параллельных и скрещивающихся прямых? А в чём их различие? Какие вы знаете признаки скрещивающихся прямых?
3. Две прямые пересекают третью. Как могут располагаться первые две прямые?
4. Прямые а и b параллельны. Как располагаются прямые а и с, если:
   • а) с пересекает Ь;
   • б) с скрещивается с b?

Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =)

Две прямые пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать.

Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости . Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости .

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим две прямые пространства:

– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж:

На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.

Как разобраться с этими прямыми?

Так как известны точки , то легко найти вектор .

Если прямые скрещиваются , то векторы не компланарны (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, будет отлично от нуля: .

В случаях № 2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны , а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: .

Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

Если направляющие векторы коллинеарны , то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.

Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:

Пример 11

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение : как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:

1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.

Ответ :

Интересный пример для самостоятельного решения:

Пример 12

Выяснить взаимное расположение прямых

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр.

И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны;-)

Задачи с прямой в пространстве

В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно.

Скрещивающиеся прямые

Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:

Пример 13

Даны прямые . Требуется:

а) доказать, что прямые скрещиваются;

б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым;

в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;

г) найти расстояние между прямыми.

Решение : Дорогу осилит идущий:

а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор:

Вычислим смешанное произведение векторов :

Таким образом, векторы не компланарны , а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать.

Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего.

б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку и перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:

Для разнообразия я разместил прямую ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.

Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.

По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера № 9 мотив, найдём векторное произведение:

Составим уравнения прямой «дэ» по точке и направляющему вектору :

Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде , но необходимости в этом нет никакой.

Для проверки необходимо подставить координаты точки в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два».

Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?

в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь.

Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.

– это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:

Вот наш красавец: – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.

Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.

Решение оформим по пунктам:

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО . Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует , обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:

Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных.

2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде:

Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:

Или:

3) Вектор , как и ранее найденный вектор , будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников . Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Есть две точки: .

Находим вектор:

4) Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

Или покоординатно:

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера . Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение:

Таким образом: , а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.

5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения в наши точки:

Направляющий вектор особо не нужен, так как уже найден его коллега .

После длинного пути всегда интересно выполнить проверку.

:

Получены верные равенства.

Подставим координаты точки в уравнения :

Получены верные равенства.

6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору :

В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

г) Срубаем четвёртую голову дракона.

Способ первый . Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: .

Крайние точки общего перпендикуляра найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:

Способ второй . На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.

В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
(вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).

Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: .

Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину:

Таким образом:

Гордо выложим трофеи в один ряд:

Ответ :
а) , значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать;
б) ;
в) ;
г)

Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе:

Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости:

Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!

Как найти точку пересечения пространственных прямых?

Пример 14

Найти точку пересечения прямых

Решение : Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:

Данная задача подробно рассматривалась в Примере № 7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве ). А сами прямые, к слову, я взял из Примера № 12. Врать не буду, новые лень придумывать.

Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Точка пересечения прямых принадлежит прямой , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра :

Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:

Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:

Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере № 12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса , но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение:

Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда:

Подставим найденное значение параметра в уравнения:

Ответ :

Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения:
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки и в исходные канонические уравнения прямых.

Кстати, можно было поступить наоборот: точку найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое».

Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами.

Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?

(прямые пересекаются)

Пример 15

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки до прямой .

Примечание : оговорка «прямые пересекаются» – существенна . Через точку
можно провести бесконечно много перпендикулярных прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку проводится прямая, перпендикулярная двум заданным прямым (см. Пример № 13, пункт «б»).

а) Решение : Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж:

Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора.

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:

Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра:

Или одной строкой:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю:

Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:

3) Значение параметра известно, найдём точку:

И направляющий вектор:
.

4) Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :

Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2:

Ответ :

Примечание : более строгая концовка решения оформляется так: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору . Действительно, если вектор является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой.

Проверка состоит из двух этапов:

1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;

2) подставляем координаты точки в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там.

О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике.

Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости . Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате.

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

б) Решение : Найдём расстояние от точки до прямой .

Способ первый . Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки , то:

Способ второй . В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.

Расстояние от точки до прямой выражается формулой:
, где – направляющий вектор прямой «эль», а – произвольная точка, принадлежащая данной прямой.

1) Из уравнений прямой достаём направляющий вектор и самую доступную точку .

2) Точка известна из условия, заточим вектор:

3) Найдём векторное произведение и вычислим его длину:

4) Рассчитаем длину направляющего вектора:

5) Таким образом, расстояние от точки до прямой:

Две прямые в пространстве могут быть расположены различным образом. Прежде всего, может случиться, что две прямые имеют общую точку. Тогда они заведомо лежат в одной плоскости. Действительно, чтобы построить такую плоскость, достаточно провести ее через три точки: точку А пересечения указанных прямых (рис. 323) и точки С и В, взятые соответственно на прямых . Имея с каждой из прямых по две общие точки, плоскость будет содержать обе прямые.

Пусть теперь данные прямые не имеют общих точек. Это еще не означает, что они параллельны, так как определение параллельности предусматривает, что прямые принадлежат одной плоскости. Чтобы решить вопрос о расположении наших прямых, проведем через одну из них, например , и произвольно взятую точку А на другой прямой плоскость К. Возможны два случая:

1) Построенная плоскость содержит всю вторую прямую (рис. 324). В этом случае прямые тип принадлежат одной плоскости и не пересекаются и потому параллельны.

2) Плоскость X пересекает прямую в точке А. Тогда обе прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися (рис. 325).

Итак, возможны три основных случая взаимного расположения двух прямых.

1. Прямые лежат в одной плоскости и пересекаются.

2. Прямые лежат в одной плоскости и параллельны.

3. Прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости.

Пример. Из 12 ребер куба можно образовать пар прямых. Из них 24 пары скрещивающихся, 24 пересекающихся и 18 пар параллельных прямых. Читатель убедится в правильности этого по модели или чертежу.

Заметим, что в пространстве сохраняет силу постулат о параллельных прямых:

Через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная ей.

В самом деле, прямая и заданная вне ее точка определяют плоскость, в которой обязана лежать искомая прямая, параллельная данной, ее единственность вытекает из постулата о параллельных.

Отметим, что два известных предложения планиметрии, относящиеся к свойствам параллельных прямых, потребуют для случая пространства особого обоснования (см. п. 232).

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой; два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны.

По поводу второго из указанных предложений заметим, что на нем основано определение угла между скрещивающимися прямыми: углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проведенными через произвольную точку М. Очевидно, такое определение опирается на предположение независимости угла от выбора точки М (см. п. 232).

Под перпендикуляром, опущенным из данной точки на прямую, понимается прямая, проведенная из данной точки под прямым углом к данной прямой и пересекающая ее. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственный перпендикуляр к ней.

Действительно, искомый перпендикуляр должен лежать в плоскости, определяемой данной прямой и точкой, и потому к нему применимы положения планиметрии. Однако из точки, лежащей на прямой, можно провести к ней бесчисленное множество перпендикуляров: по одному в каждой плоскости, проведенной через эту прямую.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Свойства параллельных прямых

Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Выводы:

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

Замечания:

Задачи и тесты по теме "Тема 2. "Параллельность прямых. Взаимное расположение прямых в пространстве"."

• Параллельность прямых, прямой и плоскости
• Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс

  Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1

• Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
• Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых - Параллельные прямые 7 класс

  Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1

• Тетраэдр и параллелепипед - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс

  Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1

Тема "Аксиомы стереометрии" играет важную роль в развитии пространственных представлений, поэтому старайтесь привлекать больше моделей (картон и спицы), рисунков.

В теме "Параллельность в пространстве" даются знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В данном материале обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности прямых. На примере теоремы о существовании и единственности прямой, параллельной данной, Вы получаете представление о необходимости заново доказать известные из планиметрии факты в тех случаях, когда речь идет о точках и прямых пространства, а не о конкретной плоскости.

Задачи на доказательство решаются во многих случаях по аналогии с доказательством теорем. Для решения задач на вычисление длин отрезков необходимо провести повторение курса планиметрии: равенства и подобия треугольников, определений, свойств и признаков прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

В этой статье мы разберемся с понятием прямой линии в трехмерном пространстве, рассмотрим варианты взаимного расположения прямых и остановимся на основных способах задания прямой в пространстве. Для лучшего представления приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямая в пространстве – понятие.

После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать о направляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми .

Способы задания прямой в пространстве.

Существует несколько способов, позволяющих однозначно определить прямую линию в пространстве. Перечислим основные из них.

Мы знаем из аксиомы, что через две точки проходит прямая, причем только одна. Таким образом, если мы отметим две точки в пространстве, то это позволит однозначно определить прямую линию, проходящую через них.

Если в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат и задана прямая с помощью указания координат двух ее точек, то мы имеем возможность составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .

Второй способ задания прямой в пространстве основан на теореме: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и причем только одна.

Таким образом, если задать прямую (или отрезок этой прямой) и не лежащую на ней точку, то мы однозначно определим прямую, параллельную заданной и проходящей через данную точку.

Можно указать точку, через которую проходит прямая и ее направляющий вектор. Это также позволит однозначно определить прямую.

Если прямая задана таким способом относительно зафиксированной прямоугольной системы координат, то мы можем сразу записать ее канонические уравнения прямой в пространстве и параметрические уравнения прямой в пространстве .

Следующий способ задания прямой в пространстве основан на аксиоме стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Таким образом, задав две пересекающиеся плоскости, мы однозначно определим прямую в пространстве.

Еще один способ задания прямой в пространстве следует из теоремы (ее доказательство Вы можете найти в книгах, указанных в конце этой статьи): если задана плоскость и не лежащая в ней точка, то существует единственная прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к заданной плоскости.

Таким образом, чтобы определить прямую, можно задать плоскость, которой искомая прямая перпендикулярна, и точку, через которую эта прямая проходит.

Если прямая задана таким способом относительно введенной прямоугольной системы координат, то будет полезно владеть материалом статьи уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости .

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.